Различити начини доказивања теорема Питагора: примери, опис и прегледи

У једном можете бити сигурни сто постопроценат, да је питање онога што је једнако квадрату хипотенузе, свака одрасла особа смело одговорити: "Збир квадрата ногу." Ова теорема је чврсто уткана у уму сваке образоване особе, али само треба да тражите од некога да то докаже, а онда може доћи до потешкоћа. Стога се подсећамо и разматрамо различите начине доказивања Питагоревске теореме.

Преглед биографије

Питагорејска теорема је скоро свима позната, алииз неког разлога, биографија особе која га је произвела није толико популарна. То је исправно. Стога, пре него што проучавамо различите методе доказивања Питагореове теореме, потребно је на кратко упознати његову личност.

Питагора је филозоф, математичар, мислилацДревна Грчка. Данас је веома тешко разликовати његову биографију из легенди које су се развиле у сећању на овог великог човека. Али, како следи из дела његових следбеника, Питхагорас оф Самос је рођен на острву Самос. Његов отац је био обичан каменац, али његова мајка је дошла из племенске породице.

Према легенди, рођење Питагорапредвидео је жену по имену Питхиа, чија је част и назвао дечака. Према њеном предвиђању, рођени би требало да донесе много користи и добро човечанству. Шта је заправо учинио.

Рођење теорема

У младости, Питагора се преселио из Самоса уЕгипат ће се тамо срести са познатим египатским мудрацима. После сусрета са њима, њему је дозвољено да учи, где је сазнао сва велика достигнућа египатске филозофије, математике и медицине.

Вероватно у Египту је Питагора била инспирисанавеличанственост и лепота пирамида и створили његову велику теорију. Ово може да шокира читаоце, али савремени историчари верују да Питхагорас није доказао своју теорију. Али је своје знање преносио само својим следбеницима, који су касније завршили све неопходне математичке прорачуне.

У сваком случају, данас нико није познат.метод доказивања ове теореме, али неколико истовремено. Данас остаје само да се погоди како су древни Грци направили своје калкулације, па овде разматрамо различите начине да се докаже питагорејска теорема.

Питагорејска теорема

Пре него што почнете било какве калкулације, морате сазнати коју теорију доказати. Питагорејска теорема звучи овако: "У троуглу где је један од углова 90^о, збир квадрата ногу једнак је квадрату хипотенузе. "

Постоји 15 различитих начина да се покаже питагорејска теорема. Ово је прилично велики број, па ћемо обратити пажњу на најпопуларније.

Први метод

Прво, означавамо шта нам је дата. Ови подаци ће бити проширени на друге методе доказивања Питагоревске теореме, тако да морате одмах запамтити све постојеће ознаке.

Претпоставимо да је дат правоугаони троугао, а и б катете једнако ц. Први метод доказивања заснива се на чињеници да се квадрат треба извући из правог троугла.

Да бисте то урадили, потребно вам је дужине ногу ада нацртате сегмент једнак ногу, и обрнуто. Дакле, требало би да постоје две једнаке стране трга. Остаје само да нацртате две паралелне линије, а квадрат је спреман.

Унутар резултирајуће фигуре потребно је да извучете вишеједан квадрат са једнаком страном хипотенуза првобитног троугла. Да бисте то урадили, из вертица ац и св морате да нацртате два паралелна сегмента једнака ц. Дакле, постоје три стране квадрата, од којих је једна хипотенуза првобитних правоугаоних троуглова. Остаје само да извуче четврти сегмент.

На основу добијене шеме можемо закључити да је површина спољног квадрата (а + б)². Ако погледате унутар облика, можете видети да поред унутрашњег квадрата постоје и четири правоугаоног троугла. Површина сваке је 0,5.

Дакле, површина је: 4 * 0.5ав + с²= 2ав + с²

Одавде (а + ц)²= 2ав + с²

И стога, са²= а²+ ин²

Теорема је доказана.

Метод два: слични троуглови

Ова формула је доказ Питхагореан теоремаје изведен на основу изјаве из секције геометрије о сличним троуглима. Пише да је нога правог троугла просечна пропорционална његовој хипотенузи, а сегмент хипотенузе који потиче из врха 90^о.

Оригинални подаци остају исти, тако да одмах почнемо са доказом. Извршите правокутно на бочни АБ сегмент СД. На основу горе наведене изјаве, ноге троуглова су једнаке:

АЦ = √АБ * АД, ЦБ = √ АБ * ДВ.

Да би одговорили на питање како доказати Питхагореан теорем, доказ мора бити постављен квадратовањем обе неједнакости.

АЦ²= АБ * АД и СВ²= АБ * ДВ

Сада морамо додати резултирајућу неједнакост.

АЦ²+ СВ²= АБ * (ХЕЛЛ * ЛВ), где ХЕЛЛ + ЛВ = АВ

Испоставило се да:

АЦ²+ СВ²= АБ * АБ

И, стога:

АЦ²+ СВ²= АБ²

Доказ о питагорејској теореми и разним начинима за његово решавање потребан је вишеструки приступ овом проблему. Међутим, ова опција је једна од најједноставијих.

Још један начин израчунавања

Опис различитих начина доказивања теоремеПитагора не може ништа рећи ништа, док они не почну да вежбају. Многе методологије укључују не само математичке прорачуне, већ и изградњу нових фигура из првобитног троугла.

У овом случају потребно је да се заврши још један правоугаони троугао АФ. Дакле, сада постоје два троугла са заједничком БЦ.

Знајући да подручја таквих фигура имају однос као квадрати сличних линеарних димензија, онда:

С_авс * са²- С_авд* ин² = С_авд* а²- С_свуда* а²

С_авс* (витх²-ин²) = а²* (С_авд-С_свуда)

са²-ин²= а²

са²= а²+ ин²

Будући да из различитих метода доказивања Питагорине теореме за 8. разред ова опција тешко може да се користи, можете користити следећи метод.

Најлакши начин да се докаже Питагорина теорема. Ревиевс

Историчари сматрају да је ово први путкористи за доказивање теореме у древној Грчкој. То је најједноставније, јер не захтева апсолутно никакве израчуне. Ако нацртате слику исправно, онда је доказ те изјаве²+ ин²= витх² ће бити јасно видљиви.

Услови за овај метод ће се мало разликовати од претходног. Да бисмо доказали теорему, претпоставимо да је правоугаони троугао АБЦ једнакокрачан.

Узмемо хипотенусу АС за страну трга иМи смо три његове странке. Поред тога, потребно је нацртати двије дијагоналне линије на резултирајућем квадрату. Тако да унутар њега постоје четири једнакокрачна троугла.

АВ и СВ катетима, такође треба нацртати квадрат и нацртати једну дијагоналну правцу у свакој од њих. Прва равна линија коју цртамо са врха А, друга - са Ц.

Сада морате пажљиво погледати резултирајућу слику. Пошто постоје четири троугла на АЦ хипотенузи, једнака оригиналу, а два на ногама, то указује на истинитост ове теореме.

Успут, захваљујући овој методи доказивања Питагорине теореме, рођена је чувена фраза: "Питагорејске панталоне су једнаке у свим правцима."

Доказ Ј. Гарфиелд

Џејмс Гарфилд је двадесети председник Сједињених Америчких Држава. Поред чињенице да је оставио свој траг у историји као владар Сједињених Држава, такође је био обдарен самоуком.

На почетку каријере био је обичаннаставник у народној школи, али је убрзо постао директор једне од високошколских установа. Тежња ка саморазвоју и омогућили су му да предложи нову теорију доказивања Питагорине теореме. Теорема и пример њеног решења је следећа.

Прво морате нацртати на папиру дваправоугаони трокути тако да је нога једног од њих наставак другог. Вретени ових троуглова морају бити повезани да би завршили са трапезом.

Као што је познато, површина трапеза једнака је продукту половине сума његових база и његове висине.

С = а + б / 2 * (а + б)

Ако добијени трапезоид сматрамо фигуром која се састоји од три троугла, тада се њена површина може наћи на следећи начин:

С = АВ / 2 * 2 + с²/ 2

Сада је потребно да избалансирате два изворна израза

2ав / 2 + с / 2 = (а + б)²/ 2

са²= а²+ ин²

О Питагориној теореми и како је доказати, можете написати више од једног волумена уџбеника. Али да ли има смисла када се ово знање не може спровести у пракси?

Практична примена Питагорине теореме

Нажалост, у модерним школским програмимаОва теорема може се користити само у геометријским проблемима. Дипломци ће ускоро напустити школске зидове, не знајући како да примијене своја знања и вјештине у пракси.

Заправо, користимо Питагорин теорем усвако може водити бригу о свом свакодневном животу. И то не само у професионалним активностима, већ иу обичним кућним пословима. Размотримо неколико случајева у којима су Питагорина теорема и методе за њено доказивање изузетно потребни.

Комуникациона теорема и астрономија

Чини се да звезде и троуглови могу бити повезани на папир. У ствари, астрономија је научна област у којој се Питагорина теорема широко користи.

На пример, размотрите кретање светлосног снопа у простору. Познато је да се светлост креће у оба смера истом брзином. Назива се путања АБ, која покреће светлосни сноп л. И пола времена које светло треба да стигне од тачке А до тачке Б, зовемо т. И брзину греде - ц. Испоставило се да: ц * т = л

Ако погледате тај други зрак другогавион, на пример, из свемирске кошуљице, која се креће брзином в, а онда са таквим посматрањем тела њихова брзина ће се променити. У том случају, чак и стационарни елементи ће се кретати са брзином в супротном смеру.

Претпоставимо да комични линер лебди удесно. Тада ће се тачке А и Б, између којих се баца зрак, померити улево. Штавише, када се сноп креће од тачке А до тачке Б, тачка А има времена да се креће и, сходно томе, светлост ће стићи до нове тачке Ц. Да би пронашла пола растојања које је тачка А померила, потребно је да помножите брзину линера за пола времена путовања греде (т) \ т ").

д = т "* в

А да би се пронашла удаљеност коју зрак свјетлости може проћи за то вријеме, потребно је одредити половину стазе нових букова и добити сљедећи израз:

с = ц * т "

Ако замислите да су тачке светлости Ц и Б, иПошто је свемирски линер на врху једнакокрачног троугла, сегмент од тачке А до линера ће га поделити у два десна троугла. Стога, захваљујући Питагориној теореми, можете пронаћи удаљеност коју би зрак свјетлости могао проћи.

с² = л² + д²

Овај пример, наравно, није најбољи, јер само неколико може бити довољно срећно да га испроба у пракси. Стога, разматрамо више земаљских варијанти примене ове теореме.

Радијус мобилног сигнала

Савремени живот се више не може замислити без постојања паметних телефона. Али колико би од њих проценили, ако нису могли да повежу претплатнике путем мобилне комуникације?

Од квалитета мобилне комуникације директно зависивисину антене мобилног оператера. Да бисте израчунали колико далеко од мобилног торња може примити сигнал, можете примијенити Питагорин теорем.

Претпоставимо да требате пронаћи приближну висину фиксне куле, тако да може ширити сигнал у радијусу од 200 километара.

АБ (висина торња) = к;

СУ (радијус преноса сигнала) = 200 км;

ОС (радијус глобуса) = 6380 км;

Одавде

ОБ = ОА + АБОВ = р + к

Примјењујући Питагорину теорему, откривамо да би минимална висина торња требала бити 2,3 километра.

Питагорина теорема у свакодневном животу

Чудно је да се може показати да је Питагорина теоремакорисно иу унутрашњим пословима, као што је одређивање висине ормара, на пример. На први поглед, нема потребе да се користе тако сложени прорачуни, јер можете једноставно узети мјерења помоћу рулета. Међутим, многи се питају зашто постоје одређени проблеми у процесу монтаже ако су сва мјерења подузета више него точно.

Чињеница је да ће гардеробахоризонтални положај и тек тада се диже и поставља уз зид. Стога, страна кабинета у процесу дизања конструкције треба да буде слободна да прође и висином и дијагоналом од просторије.

Претпоставимо да постоји ормар дубине 800 мм. Удаљеност од пода до плафона је 2600 мм. Искусни произвођач намјештаја ће рећи да би висина кабинета требала бити за 126 мм мања од висине просторије. Али зашто тачно 126 мм? Размотрите пример.

Са идеалним димензијама кабинета, проверавамо ефекат Питагорине теореме:

АЦ = .АБ²+ √ВС²

АЦ = 2474²+800²= 2600 мм - све одговара.

Претпоставимо да висина кабинета није једнака 2474 мм, већ 2505 мм. Затим:

АЦ = 502505²+ √800²= 2629 мм.

Због тога овај ормар није погодан за инсталацију у овој просторији. Пошто се подиже у вертикалном положају, његово тело се може оштетити.

Можда, разматрајући различите начине доказивањаПитагорини теореми различитих научника можемо закључити да је то више него истинито. Сада можете користити информације примљене у вашем свакодневном животу и бити потпуно сигурни да ће сви прорачуни бити не само корисни, већ и истинити.